Question

（18）

已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

Answer 1

（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，

方法一：

（I）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥PCD.

（II）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，

在Rt△PEB中BE=，PB=，

cos∠PBE=

∴AC与PB所成的角为arccos.

(III)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=.

∴AN=.

∵AB=2，

∴cos∠ANB=

故所求的二面角为arccos(-).

方法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

(I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.

又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（II）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),

故||=，||=，·=2，所以

cos<·>==

由此得AC与PB所成的角为arccos

（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使

=λ，

=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),

∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC只需·=0,即

x-z=0,解得λ=.

可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.

此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0.

由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.

∵||=,||=,·=-.

∴cos<,>=

故所求的二面角为arccos(-).