Question

在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD∥P₁D且P₁D=6，BC=3，DC=

6

，A是P₁D的中点，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°角，设E、F分别是线段AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小；
（3）求点D到平面PEC的距离．

Answer 1

分析：（1）取PC中点M，连接FM、EM，由F、M分别为PD、PC中点，知FM=

1

2

CD，由E为AB中点，知AE=

1

2

CD，所以FM=AE，FMEA为平行四边形，由此能够证明AF∥平面PEC．
（2）延长DA，CE交于点N，连接PN，由AB⊥PA，AB⊥AD，知AB⊥平面PAD，由AB∥DC，知DC⊥平面PAD，所以∠PDA为二面角P-CD-B的平面角．由此入手能够求出平面PEC和平面PAD所成二面角．
（3）连接ED，由PA⊥平面ABCD，知V_P-CED=

1

3

S_△CED•PA=

3

2

6

，V_P-CED=V_D-PCE=

3

2

6

．由此能求出点D到平面PEC的距离．

解答：（1）证明：取PC中点M，连接FM、EM，
∵F、M分别为PD、PC中点，
∴FM=

1

2

CD，
∵E为AB中点，∴AE=

1

2

CD，
∴FM=AE，∴FMEA为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）解：延长DA，CE交于点N，连接PN，
∵AB⊥PA，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD∵AB∥DC，…6分
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，DC⊥AD，
∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角
∴∠PDA=45°，
∵PA=AD=3∠PDA=45°，
∵PD=3

2

，∴PA⊥AD，
又  PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD，
∵AE∥CD，且E为AB中点，
∴AE=

1

2

CD，∴AE为△NDC的中位线，
∴AN=AD=PA，∴△PND为直角三角形，
又NE=EC=

42

2

，PE=

42

2

，
∴△PNC为直角三角形，
∴PC⊥PN，PD⊥PN，
∴∠CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角，
又PD=3

2

，CD=

6

，PD⊥DC，
∴tan∠CPD=

CD

PD

=

6

3 2

=

3

3

．
∴∠CPD=30°，
∴平面PEC和平面PAD所成二面角为30°．
（3）解：连接ED，
∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-CED=

1

3

S_△CED•PA=

1

3

×

1

2

×

6

×3×3=

3

2

6

，
V_P-CED=V_D-PCE=

3

2

6

，
设点D到平面PCE的距离为d．
S_△PCE=3

3

，
V_P-PCE=

1

3

S_△DCE•d=

3

2

6

，
∴d=

3 2

2

，
点D到平面PEC的距离为

3 2

2

．

点评：本题考查证明AF∥平面PEC，求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小，求点D到平面PEC的距离．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．