Question

在直角梯形P₁DCB中,P₁D∥CB,CD⊥P₁D,且P₁D=6,BC=3,DC=6,A是P₁D的中点,沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45°角.设E、F分别是线段AB、PD的中点.

(1)求证:AF∥平面PEC;

(2)求PC与底面所成角的正弦值.

Answer 1

思路解析:本题有两种解法、一是常规方法;二是利用空间向量求解.

解法一:(1)证明:设PC中点为G、连结FG.

∵FG∥CD∥AE,

且GF=CD=AE,∴AEGF是平行四边形.

∴AF∥EG,EG平面PEC.

∴AF∥平面PEC.

(2)连结AC.

∵BA⊥AD,BA⊥AP₁,,

∴BA⊥AD,BA⊥AP.

∴BA⊥平面PAD.                             ①

又CD∥BA,

∴CD⊥PD,CD⊥AD.

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,

∴∠PDA=45°.

又PA=AD=3,

∴△PAD是等腰直角三角形.

∴PA⊥AD.                                       ②

由①②,∴PA⊥平面ABCD.

∴AC是PC在底面上的射影.

∵PA=3,AC=

∴PC=

则sin∠PCA=

∴PC与底面所成角的正弦值为.

解法二:(1)证明:设线段PC的中点为G,连结EG.

∵

∴AF∥EG.又EG平面PEC,AF平面PEC,

∴AF∥平面PEC.

(2)∵BA⊥P₁D,∴BA⊥平面PAD.                                                        ①

又CD∥BA、∴CD⊥PD,CD⊥AD.

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,∠PDA=45°.

又PA=AD=3,∴△PAD是等腰直角三角形.

∴PA⊥AD.                                                                                 ②

由①②,∴PA⊥平面ABCD.

设PA与PC所成的角为θ(0＜θ≤),

则PC与平面ABCD所成的角为-θ.

∵

又知两两互相垂直,且

故知PC与底面所成角的正弦值为.