Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

1证明：；

2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论；由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值．

1证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．

因为E为BC的中点，所以．

又，因此．

因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

而平面PAD，平面PAD且，

所以平面又平面PAD，

所以．

2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．

由1知平面PAD，

则为EH与平面PAD所成的角．

在中，，

所以当AH最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此又，所以，

所以．

因为平面ABCD，平面PAC，

所以平面平面ABCD．

过E作于O，则平面PAC，

过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，

在中，，，

又F是PC的中点，在中，，

又，

在中，，

即所求二面角的余弦值为．