题目内容
已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=
，sin（A-B）=
．
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．
（I）证明：∵sin（A+B）=
，sin（A-B）=
，
∴sinAcosB+cosAsinB=
，sinAcosB-cosAsinB=
，
∴sinAcosB=
，cosAsinB=
，
∴tanA=2tanB．
（2）∵
＜A+B＜π，sin(A+B)=
，∴cos(A+B)=-
，tan(A+B)=-
即
=-
，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0
解得tanB=
，因为B为锐角，所以tanB=
，∴tanA=2tanB=2+
．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=
+
=
，由AB=3得CD=2+
故AB边上的高为2+
．
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∴sinAcosB+cosAsinB=
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∴sinAcosB=
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∴tanA=2tanB．
（2）∵
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
即
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| 3 |
| 4 |
解得tanB=
2±
| ||
| 2 |
2+
| ||
| 2 |
| 6 |
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=
| CD |
| tanA |
| CD |
| tanB |
| 3CD | ||
2+
|
| 6 |
故AB边上的高为2+
| 6 |
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