题目内容

已知 $数学公式$
（I）求 $数学公式$ 的值；
（II）求证： $数学公式$ 与 $数学公式$ 互相垂直；
（III）设 $数学公式$ 且k≠0，求β-α的值．

解：（I）解：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（3分）
（II）证明：∵（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β
=0，
∴（ $\text{[math]}$ ）⊥（ $\text{[math]}$ ）．（8分）
（III）解：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，（12分）
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵|k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ -k $\text{[math]}$ |，
∴ $\text{[math]}$ ，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴ $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（I）由 $\text{[math]}$ ，能求出 $\text{[math]}$ 的值．
（II）由（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能证明（ $\text{[math]}$ ）⊥（ $\text{[math]}$ ）．
（III）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）和|k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ -k $\text{[math]}$ |，能够求出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查向量的模的求法，求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直和求β-α的值．综合性强，较繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．