Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA₁．
（Ⅰ）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C₁的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB，只需证明平面ACC₁A₁内的直线AC，垂直平面B₁C₁CB内的两条相交直线B₁M，BC即可；
法一：（Ⅱ）连接B₁C，说明B₁C是直线AB₁在平面B₁C₁CB上的射影，证明B₁C⊥BC₁即可证明BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）过点B作BH⊥AB₁交AB₁于点H，连接C₁H，说明∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角，解三角形BHC₁求二面角B-AB₁-C₁的大小．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系．（Ⅱ）求出

AB1

，  

BC1

，计算

AB1

•

BC1

=0，即可证明BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求出平面ABB₁的法向量为n₁，平面AB₁C₁的法向量为n₂，通过cos＜n1，n2＞=

n1•n2

|n1||n2|

求出二面角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：设BC的中点为M．
在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，
∴B₁M⊥平面ABC．（1分）∵AC?平面ABC，∴B₁M⊥AC．（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∵B₁M∩BC=M，
∴AC⊥平面B₁C₁CB．（4分）
∵AC?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB．（5分）
解法一：（Ⅱ）连接B₁C，∵AC⊥平面B₁C₁CB，
∴B₁C是直线AB₁在平面B₁C₁CB上的射影．（5分）
∵BC=CC₁，∴四边形B₁C₁CB是菱形．
∴B₁C⊥BC₁．（7分）∴AB₁⊥BC₁；（9分）

（Ⅲ）过点B作BH⊥AB₁交AB₁于点H，连接C₁H．
∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面BHC₁．
∴AB₁⊥C₁H．∴∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角．（11分）
设BC=2，则BC=CA=AA₁=2，∵B₁M⊥BC，BM=MC，
∴B₁C=B₁B=2．∴BB₁=B₁C=BC=2．∴∠B₁BC=60°．
∴∠BCC₁=120°．∴BC1=2

3

．∵AC⊥平面BC₁，B₁C?平面BC₁，
∴AC⊥B₁C．∴B1A=2

2

．
在△BB₁A中，可求BH=

14

2

．
∵B₁B=B₁C₁，B₁H=B₁H，∴Rt△BB₁H≌Rt△C₁B₁H．
∴C1H=BH=

14

2

．
∴cos∠BHC1=

14 4 + 14 4 -12

2× 14 2 × 14 2

=-

5

7

．（13分）
∴∠BHC1=π-arccos

5

7

．
∴二面角B-AB₁-C₁的大小为π-arccos

5

7

．（14分）

解法二：（Ⅱ）因为点B₁在底面ABC上的射影是BC的中点，
设BC的中点为O，则B₁M⊥平面ABC．以O为原点，
过O平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
OB₁所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC=CA=AA₁=1，由题意可知，
B(0，

1

2

，0)，C(0，-

1

2

，0)，B1(0，0，

3

2

)，A(1，-

1

2

，0)．
设C₁（x，y，z），由

BC

=

B1C1

，得C1(0，-1，

3

2

).
（7分）∴

BC1

=(0，-

3

2

，

3

2

)．
又

AB1

=(-1，

1

2

，

3

2

)．
∴

AB1

•

BC1

=-1×0+

1

2

×(-

3

2

)+

3

2

×

3

2

=0．
∴AB₁⊥BC₁；（9分）

（Ⅲ）设平面ABB₁的法向量为n₁=（x₁，y₁，1）．
则

n1• BA =0 n1• BB1 =0.

∴

x1-y1=0 - 1 2 y1+ 3 2 =0.

∴n1=(

3

，

3

，1)．
设平面AB₁C₁的法向量为n₂=（x₂，y₂，1）．则

n2• AB1 =0 n2• AC1 =0.

∴

-x2+ 1 2 y2+ 3 2 =0 -x2- 1 2 y2+ 3 2 =0.

∴n2=(

3

2

，0，1)．（12分）
∴cos＜n1，n2＞=

n1•n2

|n1||n2|

=

5

7

．（13分）
∴二面角B-AB₁-C₁的大小为π-arccos

5

7

．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查计算能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．