Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角的正切值为多少时，以线段MN为直径的圆过抛物线的焦点？

Answer 1

解：抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）.设直线MN的方程为y=k（x+1）.?

由得k²x²+2（k²-2）x+k²=0.?

∵直线与抛物线交于M、N两点，?

∴Δ=4（k²-2）²-4k⁴＞0，

即k²＜|k²-2|.?

∴k²＜1，

即-1＜k＜1.?

设M（x₁,y₁），N（x₂,y₂），抛物线焦点为F（1，0）.?

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，?

∴MF⊥NF.

∴=-1，

即y₁y₂+x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0.

又x₁+x₂=-,

x₁x₂=1,y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁、y₂同号，?

∴=-6.?

解得k²=.∴k=±.