题目内容

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f(
1
5
)+f(
1
11
)+f(
1
19
)+…+f(
1
n2+3n+1
)＞f(
1
2
)．
（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x1＜x2＜1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(
x1-x2
1-x1•x2
)，
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，
∴-1＜
x1-x2
1-x1•x2
＜0，
∴f(
x1-x2
1-x1•x2
)＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（
1
5
）=f(-
1
5
)=f(
3-2
1+3×(-2)
) =f(3)+f(-2)=f(3)-f(2)，①
-f(
1
11
)=f(-
1
11
)= =f(
4-3
1+4×(-3)
) =f(4)+f(-3)=f(4)-f(3)，②
…
-f(
1
n2+3n+1
)=f(-
(n+2)-(n-1)
1+(n+2)•[-(n+1))]
)=f(n+2)+f[-(n+1)]=f(n+2)-f(n+1)  ③
将上式①②…③n个式子累加有
-[f(
1
5
)+f(
1
11
)+f(
1
19
)+…+f(
1
n2+3n+1
)]
=f(-
1
5
)+f(-
1
11
)+f(-
1
19
)+…+f(-
1
n2+3n+1
)
=f（n+2）-f（2）=f(
n
1-2(n+2)
)，
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴f(
n
1-2(n+2)
)=f(-
n
2n+3)
)＜f(-
n
2n
) =-f(
1
2
)＜f(-
n
2n
) =-f(
1
2
)，
∴f(
1
5
)+f(
1
11
)+f(
1
19
)+…+f(
1
n2+3n+1
)＞f(
1
2
)
练习册系列答案
相关题目
已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列an满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（an）是等比数列，并求f（an）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列an满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（an）是等比数列，并求f（an）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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