Question

函数f（x）=

sinxcosx

1+sinx+cosx

的值域为

[-

2

2

-

1

2

，-1)  ∪(-1，

2

2

-

1

2

]

．

Answer 1

分析：通过平方关系式化简sinxcosx为（1+sinx+cosx）（sinx+cosx-1），然后化简函数的表达式，通过两角和的正弦函数，以及正弦函数的有界性，求出函数的值域．

解答：解：∵sinxcosx
=

1

2

[（sinx+cosx）²-1]
=

1

2

（1+sinx+cosx）（sinx+cosx-1）
∴y=

sinxcosx

1+sinx+cosx

=

1 2 (1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)

1+sinx+cosx

=

1

2

（sinx+cosx-1）
又1+sinx+cosx≠0即sinx+cosx≠-1
且sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]．
∴函数f（x）=

sinxcosx

1+sinx+cosx

的值域为：[-

2

2

-

1

2

，-1)  ∪(-1，

2

2

-

1

2

]．
故答案为：[-

2

2

-

1

2

，-1)  ∪(-1，

2

2

-

1

2

]．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．