Question

已f（x）=

1

3

x3+ax2+

8

9

x+bg（x）=

1

3

x3+m2x-

2

3

m+1，且函数f（x）在x=

2

3

处取得极值

20

81

．
（I）求f（x）的解析式与单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）f′(x)=x2+2ax+

8

9

，f′(

2

3

)=

4

9

+

4

3

a+

8

9

=0得a=-1，
且f(

2

3

)=

20

81

，b=0，则 f(x)=

1

3

x3-x2+

8

9

x
f′(x)=x2-2x+

8

9

令f′(x)＞0得x＞

4

3

或x＜

2

3

；
f′(x)＜0得

2

3

＜x＜

4

3

；
∴f(x)的递增区间为(-∞，

2

3

)，(

4

3

，+∞)； 
递减区间为(

2

3

，

4

3

)

（ II）由（1）得

x	-1	（-1， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ， 4 3 ）	4 3	（ 4 3 ，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 20 9	增	20 81	减	16 81	增	4 9

所以当x₁∈[1，2]时，-

20

9

≤f（x₁）≤

4

9

，-

20

3

≤3f（x₁）≤

4

3

…（10分）
假设对任意的x₁∈[-1，2]时都存在x₀∈[0，1]时使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
设g（x₀）的最大值为T，最小值为t，则要求T≥

4

3

，t≤-

20

3

又g'（x）=x²+m²，所以当x₀∈[0，1]时时T=g(1)=

1

3

+m2-

2

3

m+1≥

4

3

，m≥

2

3

，或m≤0
且t=g(0)=-

2

3

m+1≤-

20

3

，m≥

23

2

．
综上，m≥

23

2

；