Question

已f（x）=

1

3

x3+ax2+

8

9

x+bg（x）=

1

3

x3+m2x-

2

3

m+1，且函数f（x）在x=

2

3

处取得极值

20

81

．
（I）求f（x）的解析式与单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）已知f（x）的解析式，对f（x）进行求导，根据函数f（x）在x=

2

3

处取得极值

20

81

可得f′（

2

3

）=0，f（

2

3

）=

20

81

，可以得到f（x）的解析式，然后利用导数求f（x）的单调区间；
（II）假设存在，则由（I）已知f（x）的单调区间，当x₁∈[-1，2]，可以求出f（x）的值域，进而求出3f（x）的范围，对于g（x）进行求导发现其为增函数，从而求出g（x）在[0，1]上的最值，然后进行判断；

解答：解：（I）f′(x)=x2+2ax+

8

9

，f′(

2

3

)=

4

9

+

4

3

a+

8

9

=0得a=-1，
且f(

2

3

)=

20

81

，b=0，则 f(x)=

1

3

x3-x2+

8

9

x
f′(x)=x2-2x+

8

9

令f′(x)＞0得x＞

4

3

或x＜

2

3

；
f′(x)＜0得

2

3

＜x＜

4

3

；
∴f(x)的递增区间为(-∞，

2

3

)，(

4

3

，+∞)； 
递减区间为(

2

3

，

4

3

)

（ II）由（1）得

x	-1	（-1， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ， 4 3 ）	4 3	（ 4 3 ，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 20 9	增	20 81	减	16 81	增	4 9

所以当x₁∈[1，2]时，-

20

9

≤f（x₁）≤

4

9

，-

20

3

≤3f（x₁）≤

4

3

…（10分）
假设对任意的x₁∈[-1，2]时都存在x₀∈[0，1]时使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
设g（x₀）的最大值为T，最小值为t，则要求T≥

4

3

，t≤-

20

3

又g'（x）=x²+m²，所以当x₀∈[0，1]时时T=g(1)=

1

3

+m2-

2

3

m+1≥

4

3

，m≥

2

3

，或m≤0
且t=g(0)=-

2

3

m+1≤-

20

3

，m≥

23

2

．
综上，m≥

23

2

；

点评：此题是关于导数应用的综合题，考查的知识点比较全面，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，是一道难题；