Question

8．若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|≤12，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值是-6．

Answer 1

分析 利用向量的运算得出∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|²≤12²，即4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow{b}$²≤144+12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，结合基本不等式得出4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow{b}$²≥12|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|≥-12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，放缩即可得出144$+24\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$≥0，求解即可得出答案．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|≤12，
∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|²≤12²，
即4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow{b}$²≤144+12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，
∵4$\overrightarrow{a}$²$+9\overrightarrow{b}$²≥12|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|≥-12$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，
∴144$+24\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$≥0，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥-$\frac{144}{24}$=-6，
故答案为：-6．

点评 本题考察了平面向量的数量积的运用，基本不等式在求解最值中的运用，属于综合题．