Question

已知双曲线C：的右焦点为F₂，F₂在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF₂Q是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过F₂的直线l交C于A、B两点，线段AB的中点为M，问|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直线l的方程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据C的两条渐近线相互垂直，且F₂到其中一条渐近线的距离为2，建立方程组，求出几何量，从而可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）这样的直线不存在，分类讨论．当直线l斜率存在时，设其方程代入双曲线方程，利用韦达定理及，可得结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F₂到其中一条渐近线的距离为2，
∴，∴
故双曲线C的方程为．                              …（5分）
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：…（7分）
当直线l的斜率不存在时，结论不成立                         …（8分）
当直线l斜率存在时，设其方程为，并设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由|MA|=|MB|=|MO|知…（9分）
∵，∴
∴…（10分）
故•…（11分）
∴
∴k²=-，这不可能
综上可知，不存在这样的直线．                                 …（12分）
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，联立方程，正确运用韦达定理是关键．