Question

14．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{0.5}（2x-y）≥0}\\{1≤x≤2}\end{array}\right.$，z=x+2y，则（　　）

• A． z的最大值为10，无最小值
• B． z的最小值为3，无最大值
• C． z的最大值为10，最小值为3
• D． z的最大值为10，最小值为3

Answer 1

分析 化简不等式组，作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．

解答
解：实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{0.5}（2x-y）≥0}\\{1≤x≤2}\end{array}\right.$，化为：$\left\{\begin{array}{l}{0＜2x-y≤1}\\{1≤x≤2}\end{array}\right.$，作出不等式对应的平面区域如图，
由z=x+2y，得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，
平移直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，经过点A时，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此时z的最小值为z=1+2×1=3，平移直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，经过点B时，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z的截距最大，
此时z最大
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即B（2，4），
此时z的最大值为z=2+2×4=10，因为可行域不包含（2，4），
所以z＜10
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．