Question

动圆C与定圆C₁：（x+3）²+y²=32内切，与定圆C₂：（x-3）²+y²=8外切，A点坐标为（0，

9

2

）．
（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程和离心率；
（2）若轨迹C上的两点P，Q满足

AP

=5

AQ

，求|PQ|的值．

Answer 1

分析：（1）根据两圆的位置关系，算出点C到C₁、C₂的距离之和等于6

2

，再由椭圆的定义可得C点的轨迹是以C₁，C₂为焦点的椭圆，结合题中数据即可得到所求轨迹方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据

AP

=5

AQ

解出x₁=5x₂且y₁=5y₂-18，根据PQ都在椭圆C上，联解得出y₂=3，代入前面式子可得y₁=-3，且x₁=x₂=0，由此得出P、Q的坐标，从而得到|PQ|的值．

解答：解：（1）如图，设动圆C的半径为R，
则|CC1|=4

2

-R，…①
|CC2|=2

2

+R，…②
①+②得，|CC1|+|CC2|=6

2

＞6=|C1C2|，
由椭圆的定义，C点的轨迹是以C₁，C₂为焦点，长轴长为6

2

的椭圆，
可得轨迹方程为

x2

18

+

y2

9

=1，离心率为

2

2

．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

AP

=(x1，y1-

9

2

)，

AQ

=(x2，y2-

9

2

)．
∵

AP

=5

AQ

，∴(x1，y1-

9

2

)=5(x2，y2-

9

2

)，
可得x1=5x2，y1=5y2-

9

2

×5+

9

2

=5y2-18，…③
由P，Q是椭圆C上的两点，
得

x12 18 + y12 9 =1 25x22 18 + (5y2-18)2 9 =1

，解出y₂=3
将y₂=3代入③，得y₁=-3，再将y₂=3代入④，得x₂=0，所以x₁=0，
∴P（0，-3），Q（0，3），可得|PQ|=6．

点评：本题给出动圆与两个定圆都相切，求圆心的轨迹方程并求满足向量等式的P、Q的坐标．着重考查了圆与圆的位置关系、向量的坐标运算和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．