Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，
∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,=.
(1)证明:平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
(2)求二面角A—CC₁—B的余弦值.

Answer 1

(1) 证明略(2) 二面角A—CC₁—B余弦值为.

方法一 (1) ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.
∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.
(2) 如图①,作AE⊥C₁C交C₁C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,
∴AE是BE在平面ACC₁A₁内的射影.
由三垂线定理知BE⊥CC₁,
∴∠AEB为二面角A—CC₁—B的平面角.                                                 图①
过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点,
则CF=AC-AF=1,
C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×=,
在Rt△BAE中,tan∠AEB===,
∴cos∠AEB=,
即二面角A—CC₁—B余弦值为.
方法二 (1) 如图②,建立空间直角坐标系,

图②
则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),
A₁(0,0,),C₁(0,1, ).
∵BD∶DC=1∶2,∴=,
∴D点坐标为,
∴=, =(-,2,0),=(0,0,).
∵·=0，·=0，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.
（2） ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)为平面ACC₁A₁的法向量.
设平面BCC₁B₁的法向量为n=(x,y,z),
则·n=0，·n=0，
∴
∴x=y，z=，可取y=1，则n=，
cos〈m,n〉=
=,
即二面角A—CC₁—B的余弦值为.