Question

如图，在三棱锥B-ACD中，AB=BD=CD=1，AC=

3

，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面BCE⊥平面ACD，需证BE⊥面ACD，即可．
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．用等体积方法求出C到面ABD的距离即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知得CE=

2 3

3

，DE=AE=

3

3

BE=

6

3

，
∴BE²+DE²=BD²，
∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∵BE?，面BDE，
∴面BDE⊥面ACD

（Ⅱ）方法一：
设C到平面ABD的距离为h，由V_B-ACD=V_C-ABD，
得

1

3

S△ACD•BE=

1

3

S△ABD•h
则h=

SACD•BE

S△ABD

=

3 4 • 6 3

3 4

=

6

3

．
设AC于平面ABD所成角为α，则sinα=

h

AC

=

2

3

，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为

2

3

．

方法二：建立如图所示直角坐标系，则
D（0，0，0），A（

3

2

，-

1

2

，0），
B（

3

3

，0，

6

3

），C（0，1，0），
∴

AC

=（-

3

2

，

3

2

，0），

DA

=（

3

2

，-

1

2

，0）

DB

=（

3

3

，0，

6

3

）
设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），
则

n• DA = 3 2 x- 1 2 y=0 n• DB = 3 3 x+ 6 3 z=0

∴取n=（

2

，

6

，-1）
设AB于平面ABD所成角为αsinα=

| AC •n|

| AC |•|n|

=

6

3 •3

=

2

3

，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为

2

3

点评：本题考查空间直线和平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，空间直角坐标系的运算，是中档题．