Question

过点P（

10

2

，0）作倾斜角为α的直线与曲线x²+2y²=1交于点M，N．
（1）写出直线的一个参数方程；
（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．

Answer 1

分析：（1）利用已知可得：直线的一个参数方程为

x= 10 2 +tcosα y=tsinα

（t为参数）．
（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x²+2y²=1，整理得(1+sin2α)t2+

10

tcosα+

3

2

=0，由于直线与椭圆相交两点，可得△＞0，得出sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3

2(1+sin2α)

即可．

解答：解：（1）直线的一个参数方程为

x= 10 2 +tcosα y=tsinα

（t为参数）．
（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x²+2y²=1，整理得(1+sin2α)t2+

10

tcosα+

3

2

=0，
∵直线与椭圆相交两点，∴△=10cos2α-4×

3

2

×(1+sin2α)≥0，解得sin2α≤

1

4

，
∵α∈[0，π），∴0≤sinα≤

1

2

．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3

2(1+sin2α)

≤

3

2(1+ 1 4 )

=

6

5

．当且仅当sinα=

1

2

，即α=

π

6

或

5π

6

时取等号．
∴当α=

π

6

或

5π

6

时，|PM|•|PN|的最小值为

6

5

．

点评：本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．