Question

过点P(

10

2

，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x²+12y²=1交于点M，N．求|PM|•|PN|的最小值及相应的α的值．

Answer 1

分析：由已知直线MN过点P（

10

2

，0）且倾斜角为a，可先写出直线的参数方程，将直线参数方程代入曲线方程x²+12y²=1交于，并将其化为一个关于t的一元二次方程，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM•PN的最小值．

解答：解：xz 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）直线方程y=k（x-

10

2

），
则k=tana，向量

PM

=（x1-

10

2

，y1），

PN

=(x2-

10

2

，y2)
联立椭圆方程得，(12k2+1) x2-12

10

k2 x+30k2 =1
韦达定理得x1+x2=

12 10 k2

12k2+1

，x1x2=

30k2-1

12k2+1

，），y1y2=  k2(x1-

10

2

)(x2-

10

2

)
则|PM||PN|=

PM

•

PN

=（x1-

10

2

，y1）•（x2-

10

2

，y2）
=(x1-

10

2

)(x2-

10

2

)+y1y2
=x1x2-

10

2

(x1+x2)+

5

2

+y1y2
=(1+k2)[x1x2-

10

2

(x1+x2)+

5

2

]
=（k²+1）（

30k2-1

12k2+1

-

10

2

12  10 k2

12k2+1

+

5

2

）
=

3+3k2

24k2+2

=

1

8

(1+

11

12k2+1

)
当直线与椭圆相切时，|PM||PN|的值最小，
此时△=0，即k2=

1

18

，|PM||PN|的最小值为

19

20

于是此时a=arctan

2

6

或π-arctan

2

6

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，解题的关键是寻求PM．PN取得最小值时的M，N的位置关系