Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，a₇=4，数列{b_n}为等比数列，b₂=a₃，b3=

1

a2

，则满足bn＜

1

a80

的最小正整数n是（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：等差数列{a_n}中，由a₁=1，a₇=4，解得d=

1

2

．所以b2=a3=1+2×

1

2

=2，b₃=b₁q²=

1

1 2 × 2+ 1 2

=

2

3

，q=

b3

b2

=

2 3

2

=

1

3

，b₁=6．所以bn=6×(

1

3

)n-1，由bn＜

1

a80

=

1

1 2 ×80+ 1 2

=

2

81

，得(

1

3

)n-1＜

1

243

=

1

3 5

，由此能求出最小正整数n．

解答：解：等差数列{a_n}中，
∵a₁=1，a₇=4，
∴1+6d=4，
解得d=

1

2

．
∴an=1+(n-1)×

1

2

=

1

2

n+

1

2

，
∴b2=a3=1+2×

1

2

=2，
b₃=b₁q²=

1

1 2 × 2+ 1 2

=

2

3

，
∴q=

b3

b2

=

2 3

2

=

1

3

，
∵

b2

b1

=

1

3

，
∴b₁=6．
∴bn=6×(

1

3

)n-1，
∵bn＜

1

a80

=

1

1 2 ×80+ 1 2

=

2

81

，
∴6×(

1

3

)n-1＜

2

81

，
(

1

3

)n-1＜

1

243

=

1

3 5

，
∴n-1＞5，
∴n＞6．
∴最小正整数n是7．
故选C．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．