Question

已知函数f（x）=1+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若tanx=2，求f（x）的值．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递减区间为[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z）列出不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间；
（2）将函数解析式分母看做“1”，以及分子中“1”利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，把tanx的值代入即可求出值．

解答：解：（1）f（x）=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，
∵ω=2，∴T=π；
令

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得：

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ（k∈Z），
则函数f（x）的单调递减区间是[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]（k∈Z）；
（2）由已知f（x）=

sin2x+sinxcosx+cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+tanx+1

tan2x+1

∴当tanx=2时，f（x）=

22+2+1

22+1

=

7

5

．

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，函数的值，正弦函数的单调性，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．