题目内容

若a为常数，且函数f（x）=lg（
2x1+x
+a）是奇函数，则a的值为
-1
-1
．
分析：利用函数是奇函数，得到f（-x）=-f（x），建立方程求解即可．
解答：解：∵f（x）=lg（
2x
1+x
+a）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
∴lg(
-2x
1-x
+a)+lg(
2x
1+x
+a)=0，即lg(
-2x
1-x
+a)(
2x
1+x
+a)=0，
∴(
-2x
1-x
+a)(
2x
1+x
+a)=1，
展开整理得a2-1=（a2+4a+3）x2，
要使等式恒成立，则有
a2-1=0
a2+4a+3=0
，即
a=1或a=-1
a=-1或a=-3
，解得a=-1．
当a=-1时，f（x）=lg(
2x
1+x
-1)=lg
2x-1-x
1+x
=lg
x-1
1+x
，
由
x-1
1+x
＞0，得（x-1）（x+1）＞0，
解得x＞1或x＜-1，即定义域为{x|x＞1或x＜-1}，
定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），
∴a=-1成立．
故答案为：-1．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用f（-x）=-f（x）求解，本题不能使用奇函数的性质f（0）=0，注意检验函数的定义域．
练习册系列答案
相关题目
已知O为坐标原点，M(cosx，2
3
)，N(2cosx，sinxcosx+
3
6
a)其中x∈R，a为常数，
设函数f(x)=
OM
•
ON

（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式和对称轴方程；
（Ⅱ）若角C为△ABC的三个内角中的最大角，且y=f（C）的最小值为0，求a的值．
（2013•眉山二模）函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
（理）设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为常数）．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞-2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab2恒成立，求实数b的取值范围．
已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式
x-m
g(x)
＞
x
对任意不等于1的正实数都成立，求实数m的取值集合．

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