Question

（本小题满分12分）
在数列中，已知．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设且的前项和为，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅰ）解法一：
而，所以，
即，数列是首项和公比都为2的等比数列           （4分）
，所以数列的通项公式为       （6分）
解法二：因为，
所以
由此猜想，下面用数学归纳法证明猜想的正确性：     （2分）
（1）当时，等式显然成立；
（2）假设当时等式成立，即
那么，
所以当时，等式也成立
由（1）、（2）知，数列的通项公式为
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）及题设知，
那么，所以
以上两个等式两边相减得，

所以，进而得        （10分）

所以，                     （12分）