题目内容
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=2
sin(ωx+
)(ω＞0)．
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜
)是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在(0，
)上是增函数，求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜
| π |
| 2 |
（2）若g（x）=f（3x）在(0，
| π |
| 3 |
分析：（1）由f（x+θ）=2
sin（ωx+ωθ+
）（0＜θ＜
）是最小正周期为π的偶函数，利用周期公式与诱导公式即可求得ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）=2
sin（3ωx+
），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）g（x）=f（3x）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵f（x）=2
sin（ωx+
）（0＜θ＜
），
∴f（x+θ）=2
sin（ωx+ωθ+
）（0＜θ＜
），
又f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，
∴ω=2，
∴2θ+
=kπ+
，（k∈Z），又0＜θ＜
，
∴
＜2θ+
＜
．
∴k=0，θ=
．
（2）∵g（x）=f（3x）=2
sin（3ωx+
）在（0，
）上是增函数，
∴由2kπ-
≤3ωx+
≤2kπ+
（k∈Z），ω＞0得：
≤x≤
（k∈Z），
∵f（3x）=2
sin（3ωx+
）在（0，
）上是增函数，
∴
≤
，
∴0＜ω≤
．
∴ωmax=
．
当ω=
时，f（x）=2
sin（
x+
）．
∵x∈[0，π]，
∴
x+
∈[
，
]，
∴
≤sin（
x+
）≤1．
∴3≤2
sin（
x+
）≤2
．
∴当x∈[0，π]，f（x）=2
sin（
x+
）∈[3，2
]．
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴f（x+θ）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
又f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，
∴ω=2，
∴2θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴k=0，θ=
| π |
| 12 |
（2）∵g（x）=f（3x）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
2kπ-
| ||
| 3ω |
2kπ+
| ||
| 3ω |
∵f（3x）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| ||
| 3ω |
∴0＜ω≤
| 1 |
| 6 |
∴ωmax=
| 1 |
| 6 |
当ω=
| 1 |
| 6 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
∵x∈[0，π]，
∴
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴
| ||
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴3≤2
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
∴当x∈[0，π]，f（x）=2
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．
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