Question

已知椭圆（a＞b＞0）上两点A，B，直线OA，OB的斜率之积为（其中O为坐标原点），
（Ⅰ）试求线段AB的中点轨迹方程；
（Ⅱ）若已知点M（x₀，y₀）为线段AB的中点，求直线AB的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆（a＞b＞0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
线段AB的中点为M（x，y），则，
且，
于是


由k_OA·k_OB=，即
由①②得，
则点M的轨迹方程为；
（Ⅱ）由已知


（1）当AB⊥x轴，即x₁=x₂时，由③④得y₁=-y₂，再由⑤得，
∴，
此时，即，
直线AB的方程为；
（2）当AB不垂直于x轴，即x₁≠x₂时，由③④得，，
即
由⑥得直线AB的斜率，
∴直线AB的方程为
由⑦变形得，
并结合①⑤得
而x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀， ⑨
由⑧⑨得，
又情形（1）也符合，
故所求直线AB的方程为。