Question

（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别    为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD, 如图2.

（Ⅰ）求三棱椎D－PAB的体积；

 (Ⅱ) 求证：AP//平面EFG；

（Ⅲ）求二面角G—EF－D的大小。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）略

（3）二面角的平面角为

【解析】解: (Ⅰ) ……4分

(Ⅱ)证明:方法一)  连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, //    

四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG. ……6分

又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……7分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……8分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……9分

方法二)  连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.∵E,F分别为PC,PD的中点,

∴//,同理//

又//AB,//平面EFG//平面PAB, …7分

  又PA平面PAB,平面EFG. ……9分

方法三)  如图以D为原点,以 为方向向量建立空间直角坐标系.

则有关点及向量的坐标为:

……6分

设平面EFG的法向量为

     取.……7分

∵,……8分

又平面EFG. AP//平面EFG. ……9分

(Ⅲ)  由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD  

又平面PCD, 向量是平面PCD的一个法向量, =…11分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……12分

……13分

结合图知二面角的平面角为……14分