题目内容

如图，椭 $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率e= $数学公式$ ，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tan∠BDC的值等于

A.
3 $数学公式$
B.
$数学公式$
C.
- $数学公式$
D.
-3 $数学公式$

D
分析：根据离心率的值求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值，求得tan∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的值，再求出tan∠OFC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的值，
代入tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）进行运算．
解答：∵离心率e= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由图可知，tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），∴tan∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
tan∠OFC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，代入公式即得
tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）= $\text{[math]}$ =-3 $\text{[math]}$ ，
故选 D．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，两角和差的正切函数，判断tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），是解题的难点和
关键．

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（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C₁：

=1与双曲线C₂：9x2-

=1有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=

-12(x-4) (3＜x≤4)

．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

）与第（1）小题椭圆弧E₂：

≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求

的取值范围．

如图，F₁，F₂为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=

．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（

）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为

的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①f(

)=6；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(

，0)对称；⑤函数f(m)=3

时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）

如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为

的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①

；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点

对称；⑤函数

时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（）
A．①③⑤
B．②③④
C．②③⑤
D．③④⑤