Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

；
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

…（2分）
∵a＞0，
∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数　　　　…（4分）
（II）由（I）可知，f′（x）=

x+a

x2

．
（1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

（舍去）　…（5分）
（2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

⇒a=-

e

2

（舍去）…（6分）
（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

⇒a=-

e

∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

∴a=-

e

．…（8分）
综上所述，a=-

e

．
（III）∵f（x）＜x²
∴lnx-

a

x

＜x2
又x＞0，∴a＞xlnx-x³…（9分）
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h'（x）=

1

x

-6x=

1-6x2

x

∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分）
∴h（x）＜h（1）=-2＜0
即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数
∴g（x）＜g（1）=-1
∴当a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（12分）