Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）当时， 最大为；（Ⅲ）证明过程见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）当b>0时，由（Ⅰ）得，即可求的最大值；（Ⅲ） ，构造函数，得出当x→0（x>0）时，

F（x）→-∞；x→+∞时，F（x）→-m，再用分析法进行证明即可．

试题解析：（Ⅰ）

当时， 恒成立，函数的单调增区间为，无极值；

当时， 时， 时，，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值；

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得，

即当时， 最大为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当取最大值1时， ，记，

，不妨设，由题意，则， ，欲证明，只需证明，只需证明，

即证明，即证，设，则只需证明，也就是证明，记，所以，所以在单调递增，所以，所以原不等式成立.