Question

首项为正数的数列{a_n}满足a_n+1=

1

4

（a_n²+3），n∈N₊．
（1）证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（2）若对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先在n=1时，知a₁为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，a_n都是奇数；
（2）先求出a_n+1-a_n的表达式，利用函数思想求解不等式a_n+1-a_n＞0，求出a_n取值范围，利用归纳法求出a₁的取值范围．

解答：（1）证明：已知a₁是奇数，假设a_k=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a_k+1=

a 2 n +3

4

=m（m-1）+1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n≥2，a_n都是奇数．
（2）法一：由a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3）知，a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，则0＜a_k+1＜

1+3

4

=1；
若a_k＞3，则a_k+1＞

32+3

4

=3．
根据数学归纳法得，0＜a₁＜1?0＜a_n＜1，?n∈N₊；
a₁＞3?a_n＞3，?n∈N₊．
综上所述，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．
法二：由a₂=

a 2 1 +3

4

＞a₁，得a₁²-4a₁+3＞0，于是0＜a₁＜1或a₁＞3．
a_n+1-a_n=

a 2 n +3

4

-

a 2 n-1 +3

4

=

(an+an-1)(an-an-1)

4

，
因为a₁＞0，a_n+1=

a 2 n +3

4

，所以所有的a_n均大于0，
因此a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．
根据数学归纳法，?n∈N₊，a_n+1-a_n与a₂-a₁同号．
因此，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．

点评：此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用．