Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点，AB=2，A₁A=

2

，如图．
求证：（1）CD⊥AB₁；
      （2）AB₁⊥BC₁．

Answer 1

分析：（1）要证CD⊥AB₁，通过证明CD⊥平面A₁ABB₁，后者由A₁A⊥CD，CD⊥AB得出．
（2）取A₁B₁中点D₁，连接C₁D₁，BD₁，由AB₁⊥平面BC₁D₁证得AB₁⊥BC₁．应由AB₁⊥BD₁，C₁D₁⊥AB₁证得．

解答：证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴CA=CB，D为AB中点，
∴CD⊥AB，…（2分）
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁正三棱柱，
∴A₁A⊥平面ABC
∴A₁A⊥CD，又A₁A∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁，…（5分）
∴CD⊥AB₁            …（6分）
（2）取A₁B₁中点D₁，连接C₁D₁，BD₁，…（7分）
同法可证C₁D₁⊥平面A₁ABB₁ 从而C₁D₁⊥AB₁，…（8分）
在矩形A₁ABB₁ 中，AB=2，A₁A=

2

，D₁为A₁B₁中点，
∴A₁D₁=D₁B₁=1，
由

AB

BB1

=

BB1

B1D1

=

2

及∠ABB₁=∠BB₁D₁=90⁰，
可得△ABB₁∽△BB₁D₁，
∴∠B₁AB=∠B₁BD₁，
而∠B₁BD₁+∠ABD₁=90⁰，
∴∠B₁AB+∠ABD₁=90⁰，
∴AB₁⊥BD₁，…（12分）
BD₁∩C ₁D₁=D₁，
∴AB₁⊥平面BC₁D₁，
∴AB₁⊥BC₁． …（14分）

点评：本题考查空间直线和直线垂直，平面和平面垂直的判定．考查空间想象、转化、推理论证能力．