Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长为a，侧面A₁ACC₁⊥底面△ABC，A₁B=

6

2

a．
（1）求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值．
（2）求证：A₁B⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（1）如图过点B作BO⊥AC，可得BO⊥侧面ACC₁A₁，连结A₁O，可得A₁O⊥底面ABC．根据A₁C₁∥AC，可得∠BC₁A₁或其补角为异面直线AC与BC₁所成的角．
在Rt△A₁BC₁中，解三角形求得cos∠BC₁A₁的值．
（2）由四边形ABB₁A₁为菱形，可得AB₁⊥A₁B．又由（1）可得A₁B⊥AC，利用直线和平面垂直的判定定理证得A₁B⊥面AB₁C．

解答：解：（1）如图过点B作BO⊥AC，垂足为点O，则由侧面A₁ACC₁⊥底面△ABC，
可得BO⊥侧面ACC₁A₁，连结A₁O．
在Rt△A₁BO中，A₁B=

6 a

2

，BO=

3

2

a，∴A₁O=

3

2

a．
又AA₁=a，AO=

a

2

，∴△A₁AO为直角三角形，∴A₁O⊥AC，A₁O⊥底面ABC．
∵A₁C₁∥AC，∴∠BC₁A₁或其补角为异面直线AC与BC₁所成的角．
∵A₁O⊥面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A₁B，∴A₁C₁⊥A₁B．
在Rt△A₁BC₁中，A₁B=

6

2

a，A₁C₁=a，∴BC₁=

10

2

a，∴cos∠BC₁A₁=

10

5

．
∴异面直线AC与BC₁所成角的余弦值为

10

5

．
（2）∵四边形ABB₁A₁为菱形，∴AB₁⊥A₁B．
又由（1）可得A₁B⊥AC，而AC∩AB₁=A，∴A₁B⊥面AB₁C．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．