Question

13．已知函数f（x）=ax²-（a+1）xlnx-1（a∈R）．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立？如果存在，试求实数a的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得在切点处的切线斜率，以及切点，由点斜式方程求得切线方程，求得圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得d=r，计算即可得到a；
（2）假设存在实数a，使得f（x）＞0即$\frac{f（x）}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，求出函数的导数，对a讨论，当a≤0时，当a≥1时，当0＜a＜1时，考虑它们的单调性，即可判断a的范围

解答 解：（1）f（x）=ax²-（a+1）xlnx-1的导数为f′（x）=2ax-（a+1）（1+lnx），
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=a-1，切点为（1，a-1），
则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（a-1）=（a-1）（x-1），
即为（a-1）x-y=0，
由切线与圆（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，可得$\frac{|a-1|}{\sqrt{1+（a-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=0或2；
（2）假设存在实数a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
即为$\frac{f（x）}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx，x＞1．
由g′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a+1}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上递减，g（x）无最小值；
当a≥1时，即0＜$\frac{1}{a}$≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上递增，即有0≤a-1，
即为a≥1成立；
当0＜a＜1则当x＞$\frac{1}{a}$时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当1＜x＜$\frac{1}{a}$时，g′（x）＜0，g（x）递减，
即有x=$\frac{1}{a}$处取得最小值，即有0＜1-a-（a+1）ln$\frac{1}{a}$，
即为lna＞$\frac{a-1}{a+1}$．由y=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$的导数为$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，
即y=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$在（0，1）递增，即有lnx＜$\frac{x-1}{x+1}$．
则不等式lna＞$\frac{a-1}{a+1}$无解．
综上可得，存在实数a，且a≥1，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．