Question

已知点在曲线上, 且.

（1）求f(x)的定义域;

（2）求证: （n∈N*）

Answer 1

解:( 1) 由f(x)=知x满足: x²＋ ≥0, ∴  ≥0 , ∴≥0

∴ ≥0, 故x>0, 或x≤－1.定义域为: （－∞, －1）∪（0,＋∞）

（2）∵ a_n＋1²=a_n²＋ , 则a_n＋1²－a_n² =  于是有: = a_n＋1²－a₁²

= a_n＋1²－1

要证明:

只需证明:  ( *) 下面使用数学归纳法证明: (n≥1,n∈N*)   ①在n=1时, a₁=1, <a₁<2, 则n=1时 (* )式成立.

②假设n=k时,  成立, 由

要证明:  只需2k＋1≤ 只需(2k＋1)³≤8k(k＋1)²

只需证:  , 只需证: 4k²＋11k＋8>0, 而4k²＋11k＋8>0在k≥1时恒成立.  于是: . 因此 得证.

综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立.