Question

【题目】已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.

（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；

（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；

（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）由题意可得焦点，的坐标，进而可求出的坐标，设的坐标，注意横坐标的范围，在椭圆上，又到的距离与到直线的距离相等，可求出的横坐标；

（2），，个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线 的方程；

（3）设，的坐标，得出直线，的方程，进而求出两条直线与轴的交点坐标，用，的坐标表示，而，又在椭圆上，进而求出结果．

（1）设，依题意得，，联立椭圆方程：，把代入得：

，；

又因为，代入得：；

（2）设，则，则，

又因为在椭圆上，

所以，

则，当且仅当时，取等号，即，则，所以；

（3）设，

则，

则，又因为，代入得：，故为定值.