Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由离心率为，即可得a²=2b²，从而C：，再把点代入椭圆方程即可求得b²，进而得到a²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出焦点F₁，F₂的坐标，设直线MN的方程为y=k（x+2），由直线MN与直线PQ互相垂直得直线PQ的方程为，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．联立直线MN与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到为定值．
解答：（Ⅰ）解：由已知，得．
所以a²=2b²．
所以C：，即x²+2y²=2b²．
因为椭圆C过点，所以，
得b²=4，a²=8．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由方程组消y得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
则 ，．
所以|MN|===．
同理可得|PQ|=．
所以==．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握．