Question

【题目】已知椭圆（﹥﹥0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

试题分析： (1)设椭圆的方程,利用短轴一个端点到右焦点的距离为,离心率为，可求得椭圆的方程；(2)设，分情况:一斜率不存在,求出;二斜率存在,设直线的方程,由坐标原点到直线的距离为,可得,同时与椭圆方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式即可得出.

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意

∴，∴所求椭圆方程为.

（2）设，

（1）当轴时，.

（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为.

由已知，得.

把代入椭圆方程，整理得,

∴,

∴

当且仅当，即时等号成立.

当时，,

综上所述，.

所以，当最大时，面积取最大值.