题目内容
15．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点F关于直线x-2y=0对称的点在圆x2+y2=4上．（1）求此椭圆的方程．
（2）设M是椭圆C上异于长轴端点的任意一点，试问在x轴上是否存在两个定点A、B，使得直线MA、MB的斜率之积为定值？若存在，则求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由右焦点F（c，0）关于直线x-2y=0对称的点$（\frac{3c}{5}，\frac{4c}{5}）$在圆x2+y2=4上．代入即可得出c，再利用$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a2=b2+c2．即可得出．
（2）设A（s，0），B（t，0），M（x0，y0）．则kMA•kMB=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st}$，由于${y}_{0}^{2}=4（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{8}）$，可得kMA•kMB=$\frac{8-{x}_{0}^{2}}{2[{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st]}$，要使上述值为定值，则必有：s+t=0，st=-8，即可得出．
解答 解：（1）设右焦点F（c，0）关于直线x-2y=0对称的点P（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+c}{2}-2×\frac{y+0}{2}=0}\\{\frac{n}{m-c}×\frac{1}{2}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3c}{5}}\\{n=\frac{4c}{5}}\end{array}\right.$，
∵点P$（\frac{3c}{5}，\frac{4c}{5}）$在圆x2+y2=4上．
∴$（\frac{3c}{5}）^{2}+（\frac{4c}{5}）^{2}$=4，解得c=2．
∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a2=8，b2=4．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设A（s，0），B（t，0），M（x0，y0）．
则kMA•kMB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-s}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-t}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st}$，
∵${y}_{0}^{2}=4（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{8}）$，
∴kMA•kMB=$\frac{8-{x}_{0}^{2}}{2[{x}_{0}^{2}-（s+t）{x}_{0}+st]}$，
要使上述值为定值，则必有：s+t=0，st=-8，
解得s=-t=±2$\sqrt{2}$．
∴可取A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$．
则kMA•kMB=-$\frac{1}{2}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、定值问题、点对称问题、垂直平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{1}{5}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；
（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：
| 月洒水量 | 20＜X＜40 | 40≤X≤60 | X＞60 |
| 供水站运行的最多数量 | 1 | 2 | 3 |
如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥DC，ADEF是正方形，已知BD=2AD=2，AB=2DC=$\sqrt{5}$．