Question

20．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥DC，ADEF是正方形，已知BD=2AD=2，AB=2DC=$\sqrt{5}$．
（1）证明：平面BDF⊥平面ADEF；
（2）求二面角D-BE-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得FD⊥平面ABCD，从而BD⊥DE，由勾股定理得AD⊥BD，从而BD⊥平面ADEF，由此能证明平面BDF⊥平面ADEF．
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DBC的法向量、平面DBE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角D-BE-C的正弦值．

解答 （1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥DC，ADEF是正方形，
∴FD⊥平面ABCD，∴BD⊥DE，
∵BD=2AD=2，AB=2DC=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理得AD⊥BD，
∵AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADEF，
∵BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面ADEF．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，
建立空间直角坐标系，D（0，0，0），E（0，0，1），B（0，2，0），C（-$\frac{1}{2}$，1，0）
$\overrightarrow{BE}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$，-1，0），
设平面DBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2y+z=0}\\{-\frac{1}{2}x-y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，-2），
∵平面DBE的法向量为$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0）
∴二面角D-BE-C的余弦值为$\frac{2}{\sqrt{4+1+4}•1}$=$\frac{2}{3}$，
∴二面角D-BE-C的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角D-BE-C的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用，确定平面的法向量是关键．