Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y＝x对称．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

(3)设直线y＝mx＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M(－2，0)及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．S

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0 　　∵该直线与圆相切， 　　∴双曲线C的两条渐近线方程为　　2分 　　故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为 　　∴，∴双曲线C的方程为　　4分 　　(2)若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|＝|OF1| 若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|＝|QF1|根据双曲线的定义|TF2|＝2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①　　6分 　　由于点N是线段F1T的中点，设N(x，y)，T() 　　则 　　代入①并整理得点N的轨迹方程为　　　8分 　　(3)由 　　令 　　直线与双曲线左支交于两点，等价于方程上有两个不等实根． 　　因此　　　10分 　　又AB中点为 　　∴直线L的方程为　　　　　12分 　　令x＝0，得 　　∵　∴ 　　∴故b的取值范围是　　　14分