Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方形中，.

因为，，

所以 平面．                       

因为 平面，

所以 ．                                  

同理，．

因为 ，

      所以 平面．                         

（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）知平面．

因为 平面，

所以 ．                                  

因为 _，，

所以 ．                                     

分别以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

      由题意可得：，，，．

      所以 ，，，．                         

      设平面的一个法向量，

      则 即 令，得.

所以 ．

      同理可求：平面的一个法向量．      

      所以 ．

      所以 二面角的余弦值为．             

（Ⅲ）存在．理由如下：

      若棱上存在点满足条件，设，．

      所以 ．       因为 平面的一个法向量为．

      所以 ．

      令 解得：.

     经检验．                          

     所以 棱上存在点，使直线与平面所成的角是，此时的长为．