Question

【题目】设函数，其中a，.

（1）若函数在处取得极小值，求a，b的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在上只有一个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）首先对函数求导，根据题意，得到，，得到所满足的等量关系，求得结果；

（2）对函数求导，并进行因式分解得到，比较和2的大小，从而进行分类讨论，进而确定函数的单调区间；

（3）函数在上只有一个极值点，等价于在上只有一个解，结合（2）及零点存在性定理可得，从而求得的范围.

（1）因为，

所以，得.

由，解得.

（2）因为，

令，得或.

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为.

（3）由题意可得，即，

化简得，

解得，

所以a的取值范围是.