题目内容
已知a为实数，函数f（x）=（x2+
）·（x+a）（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（2）若f′(-1)=0，①求函数f(x)的单调区间.
②证明对任意的x1、x2∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜
恒成立.
解:（1）∵f(x)=x3+ax2+x+a，
∴f′(x)=3x2+2ax+
，
∵函数f(x)的图象有与x轴平行的切线，
∴f′(x)=0有实数解，
∴Δ=4a2-4×3×
≥0，a2≥
.
所以a的取值范围是（-∞，-
）∪[
，+∞].
（2）①∵f′(-1)=0，∴3-2a+
=0，a=
.
∴f′(x)=3x2+
x+
=3（x+
）·（x+1）.
由f′(x)＞0，x＜-1或x＞-
；由f′(x)＜0，-1＜x＜-
，
∴f(x)的单调递增区间是（-∞，-1），（-
，+∞）；单调减区间为（-1，-
），
②易知f(x)的最大值为f(-1)=
，f(x)的极小值为f(-
)=
，
又f(0)=
，
∴f(x)在[-1，0]上的最大值M=
，最小值m=
.
∴对任意x1，x2∈（-1，0），恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=
-
=
.
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