Question

（2012•济宁一模）如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

．
（I）若D是棱CC₁的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB₁C₁；
（II）求三棱锥A₁-AB₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（I）取BB₁的中点F，连接EF，DF，利用D是棱CC₁的中点，E是棱AB的中点，可得线线平行，从而可得线面平行，进而可得面面平行，即可证明DE∥平面AB₁C₁；
（II）利用V_{三棱锥A1-AB1C1}=V_{三棱锥A-A1B1C1}，即可求三棱锥A₁-AB₁C₁的体积．

解答：（I）证明：取BB₁的中点F，连接EF，DF，则
∵D是棱CC₁的中点，E是棱AB的中点，
∴DF∥B₁C₁，EF∥A₁B₁
∴EF∥平面AB₁C₁，DF∥平面AB₁C₁，
∵EF∩DF=F，
∴平面DEF∥平面AB₁C₁，
∵DE?平面DEF
∴DE∥平面AB₁C₁；
（II）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∴AA₁是平面A₁B₁C₁的高，
∵∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

，
∴V_{三棱锥A1-AB1C1}=V_{三棱锥A-A1B1C1}=

1

3

S△A1B1C1•AA1=

1

3

×

1

2

×2×1×

3

=

3

3

．

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．