Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）

• A、4+2

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  3 +1

  2

• D、

  3

  +1

Answer 1

分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得其中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．

解答：解：依题意可知双曲线的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是

3

c
M（0，

3

c）
所以中点N（-

c

2

，

3

2

c）
代入双曲线方程得：

C2

4a2

-

3c2

4b2

=1
整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵b²=c²-a²
所以c⁴-a²c²-3a²c²=4a²c²-4a⁴
整理得e⁴-8e²+4=0
求得e²=4±2

3

∵e＞1，
∴e=

3

+1
故选D

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线的基础知识的把握．