题目内容
设函数f（x）=
x2+bx-
，已知不论α、β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，对正数数列{an}，其前n项和Sn=f（an）（n∈N+）．
（1）求b的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）问是否存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（4）若
=
（n∈N+），且数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与
的大小，并给予证明．
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（1）求b的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）问是否存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（4）若
| cn |
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
| 6 |
分析：（1）令α=0，β=
，根据f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，可知f（1）=0求得b．
（2）根据函数解析式分别表示出Sn和Sn+1，进而根据an+1=Sn+1-Sn整理得（an+1+an）（an+1-an-2）=0进而判断出an+1-an=2，推断数列{an}是等差数列，求得a1利用等差数列的通项公式求得an．
（3）假设存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，令n=1，2，求得b1和b2进而求的数列的公比，进而可得数列{bn}的通项公式，令Sn=3×2+5×22+…+（2n+1）2n，利用错位相减法求得Sn=2n+1（2n-1）+2．证明出a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．
（4）把（2）中求得的an代入
=
中求得cn，利用裂项法求得Tn=
(
-
)进而可证明Tn＜
．
| π |
| 2 |
（2）根据函数解析式分别表示出Sn和Sn+1，进而根据an+1=Sn+1-Sn整理得（an+1+an）（an+1-an-2）=0进而判断出an+1-an=2，推断数列{an}是等差数列，求得a1利用等差数列的通项公式求得an．
（3）假设存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，令n=1，2，求得b1和b2进而求的数列的公比，进而可得数列{bn}的通项公式，令Sn=3×2+5×22+…+（2n+1）2n，利用错位相减法求得Sn=2n+1（2n-1）+2．证明出a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．
（4）把（2）中求得的an代入
| cn |
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 1 |
| 6 |
解答：解：（1）由对任意实数α、β，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，
可得恒有f（cos0）≤0，且f（2-sin
）≥0，即f（1）=
+b-
=0，可得b=
；
（2）由Sn=f（an）=
an2+
an-
（n∈N+），可得Sn+1=
an+12+
an+1-
故an+1=Sn+1-Sn=
（an+12-an2）+
（an+1-an），即（an+1+an）（an+1-an-2）=0，
又{an}是正数数列，故an+1+an＞0，∴an+1-an=2，即数列{an}是等差数列．
又a1=
a12+
a1-
，且a1＞0，可得a1=3，故an=3+2（n-1）=2n+1；
（3）假设存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，
令n=1，2，可得b1=2，b2=4，故{bn}的公比为2，从而bn=2×2n-1=2n．
令Sn=3×2+5×22+…+（2n+1）2n⇒Sn=2n+1（2n-1）+2
故a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．
（4）
=
⇒cn=(
)2=
Tn
=
＜
=
．
=
(
-
)=
(
-
)＜
．
可得恒有f（cos0）≤0，且f（2-sin
| π |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（2）由Sn=f（an）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
故an+1=Sn+1-Sn=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
又{an}是正数数列，故an+1+an＞0，∴an+1-an=2，即数列{an}是等差数列．
又a1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（3）假设存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，
令n=1，2，可得b1=2，b2=4，故{bn}的公比为2，从而bn=2×2n-1=2n．
令Sn=3×2+5×22+…+（2n+1）2n⇒Sn=2n+1（2n-1）+2
故a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．
（4）
| cn |
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
| (1+an)2 |
=
| n |
 |
| i=1 |
| 1 |
| (2i+2)2 |
| n |
|
| i=1 |
| 1 |
| (2i+2)2-1 |
| n |
|
| i=1 |
| 1 |
| (2i+1)(2i+3) |
=
| 1 |
| 2 |
| n |
|
| i=1 |
| 1 |
| 2i+1 |
| 1 |
| 2i+3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 1 |
| 6 |
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．涉及了数列的求和、不等式等问题，考查了学生解决实际问题的能力．
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