题目内容

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为： $数学公式$ ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

解：（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则
S=200x- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x²+400x-80000=- $\text{[math]}$ （x-400）²；
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则：①当x∈[120，144）时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²-80x+5040= $\text{[math]}$ （x-120）²+240，∴当x=120时， $\text{[math]}$ 取得最小值240；
②当x∈[144，500]时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ -200≥2 $\text{[math]}$ -200=200，
当且仅当 $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，即x=400时， $\text{[math]}$ 取得最小值200；
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
分析：（I）当x∈[200，300]时，该项目获利S=200x- $\text{[math]}$ ＜0，说明不获利；当x=300时，S取得最大值-5000，说明国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损；
（II）二氧化碳的每吨平均处理成本为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；分段讨论，①当x∈[120，144）时，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；②当x∈[144，500]时，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．
点评：本题考查了分段函数模型的应用题目，并且考查了求二次函数的最值，利用基本不等式求函数的最值等问题，是中档题．