题目内容

求和：S_n=（x+ $数学公式$ ）²+（x²+ $数学公式$ ）²+…+（xⁿ+ $数学公式$ ）²．

解：当x=±1时，
∵（xⁿ+ $\text{[math]}$ ）²=4，∴S_n=4n，
当x≠±1时，
∵a_n=x²ⁿ+2+ $\text{[math]}$ ，
∴S_n=（x²+x⁴++x²ⁿ）+2n+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2n
= $\text{[math]}$ +2n，
所以当x=±1时，S_n=4n；
当x≠±1时，S_n= $\text{[math]}$ +2n．
分析：先讨论当x=±1时，通项为常数，求出其前n项的和；再求当x≠±1时，将数列的通项展开，判断出其是有三个特殊数列的和构成，两个等比数列一个等差数列；利用分组求和的方法，求出前n项和
点评：求数列的前n项和，关键是判断出数列通项的特点，然后选择合适的求和方法．