Question

7．已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R．e=2.71828…，设g（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，g′（x）=e^x-2a．对a分类讨论，利用导数即可得出其单调性；
（2）利用（1）的结论，对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
g′（x）=e^x-2a．
当a≤0时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=ln（2a）．
当x＜ln（2a）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在（-∞，ln（2a））上单调递减；当x＞ln（2a）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在（ln（2a），+∞）上单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数g（x）在R上单调递增．
当a＞0时，函数g（x）在（-∞，ln（2a））上单调递减；函数g（x）在（ln（2a），+∞）上单调递增．
（2）由（1）可知：①当a≤0时，函数g（x）在R上单调递增．∴当x=0时，函数g（x）取得最小值，g（0）=0．
②当a＞0时，函数g（x）在（-∞，ln（2a））上单调递减；函数g（x）在（ln（2a），+∞）上单调递增．
当ln（2a）=0时，a=$\frac{1}{2}$；当ln（2a）=1时，a=$\frac{e}{2}$．
∴当a≥$\frac{e}{2}$时，ln（2a）≥1，
∴函数g（x）在[0，1]上单调递减，g（x）_min=g（1）=e-a-b-1．
当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，ln（2a）≤0．函数g（x）在[0，1]上单调递增，g（x）_min=g（0）=0．
当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，0＜ln（2a）＜1，∴函数g（x）在[0，a）上单调递减，（a，1]上单调递增．
g（x）_min=g（a）=e^a-a³-ab-1．

点评 本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．